Question

    如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连结EC、BD．

  (1)求证：ΔABD∽ΔACE；

  (2)若ΔBEC与ΔBDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．

Answer 1

  (1)证明：因为弧ED所对的圆周角相等，所以∠EBD=∠ECD，…………………2分

  又因为∠A=∠A，所以△ABD∽ΔACE．……………………………………………4分

  (2)法1：因为S_△BEC=S_△BCD，

  S_△ACE=S_△ABC-S_△BEC，S_△ABD=S_△ABC一S_△BCD，………………………………6分

  所以S_△ACE=S_△ABD，

  又由(1)知△ABD∽ΔACE，

  所以对应边之比等于1，……………………………………………………………8分

  所以AB=AC，即三角形ABC为等腰三角形．……………………………………9分

  法2：因为ΔBEC与ΔBCD的面积相等，有公共底边BC，所以高相等，

  即E、D两点到BC距离相等，所以ED‖BC，……………………………………6分

  所以∠BCE=∠CED，

  又因为∠CED=∠CBD，

  所以∠BCE=∠CBD，………………………………………………………………8分

  由(1)知△ABD∽ΔACE，

  所以∠ABD=∠ACE，

  所以∠ABC=∠ACB，

  即三角形ABC为等腰三角形．  ……………………………………………………9分