Question

如图，抛物线c1：y=ax2-2ax-c与x轴交于A、B，且AB=6，与y轴交于C（0，-4 ）．
【小题1】求抛物线c1的解析式；
【小题2】问抛物线c1上是否存在P、Q（点P在点Q的上方）两点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求P、Q两点坐标；若不存在，请说明理由；
【小题3】抛物线c₂与抛物线c₁关于x轴对称，直线x=m分别交c₁、c₂于D、E两点，直线x=n分别交c₁、c₂于M、N两点，若四边形DMNE为平行四边形，试判断m和n间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【小题1】
【小题2】存在，P、Q的坐标分别为（5，），（3，）或（-5，），（3，-）
【小题3】m+n=0，m≠0，n≠0．解析:
此题是二次函数的综合题，涉及到求解析式、平行四边的性质等。
（1）解：把C（0．-4）代入抛物线的解析式得：c=4，
∴y=ax²-2ax-4，
∵AB=6，
所以 =
解得：a=0（舍去），a=，
∴
（2）解：有两种情况：①当∠PAC=∠ACQ=90°时如图（1），连接AQ，设Q（x，x²-x-4），
由勾股定理得：AQ²=AC²+CQ²，
代入得：
解得：x=0（舍去），x=3，
当x="3" 时，x²-x-4=-，
∴Q（3，），
同法可求P的坐标是（5，）；
②当∠ACQ=∠PQC=90°时如图（2），与①解法类似可求出Q的坐标是（3，-），P的坐标是（-5，）；
故存在，P、Q的坐标分别为（5，），（3，）或（-5，），（3，-）．
（3）答：m和n间的数量关系是m+n=0，且m≠0，n≠0．
理由是：∵抛物线c₂与抛物线c₁关于x轴对称，
∴两抛物线的形状相同，开口方向相反，且都关于Y轴对称，
∵直线x=m分别交c_1、c₂于D、E两点，直线x=n分别交c1、c2于M、N两点，四边形DMNE为平行四边形，
∴直线m n垂直于X轴（m∥n），DE=MN，DE与 MN关于Y轴对称，
∴m+n=0，m≠0，n≠0．