Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若OE与AD交于点F，cos∠BAC=

4

5

，求

DF

AF

的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；
（2）连接BC，推出矩形ECGD，设AC=4a，AB=5a，求出OD、求出OG的长，推出CE=DG，求出CE长，求出AE，证△AEF和△OFD相似，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）连接BC交OD于G，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴cos∠BAC=

4

5

=

AC

AB

，
设AC=4a，AB=5a，由勾股定理得：BC=3a，
∴OA=OD=OB=2.5a，
∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG，
∴四边形ECGD是矩形，
∵OG为△ABC中位线，
∴G为BC中点
∴DE=CG=1.5a，
∵OD∥AE，OA=OB，
∴CG=BG，
∴OG=

1

2

AC=2a，
∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a，
∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a，
∵OD∥AC，
∴△AEF∽△DOF，
∴

DF

AF

=

OD

AE

=

5

9

．

点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，角平分线定义等知识点的运用，题目较好，综合性强，有一定的难度，主要培养学生综合运用所学知识进行推理的能力．