Question

【题目】（本小题满分11分）已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）△CDF是等腰直角三角形，（1分）

理由如下：

∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，（2分）

在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），（3分）

∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，（4分）

∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，

∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形.（5分）

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连接DF，CF，如图，

∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，

在△FAD与△DBC中，，

∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，（6分）

∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，

∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，

∴△CDF是等腰直角三角形，（7分）

∴∠FCD=45°，（8分）

∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，（10分）

∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．（11分）