Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-

9

4

，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C．
（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线y=ax²+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB的度数．
（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后把A，B两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式．
（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标．

解答：解：（1）∵以AB为直径的圆恰好经过 点C，
∴∠ACB=90°．

（2）∵△AOC∽△COB，
∴OC²=AO•OB，
∵A（-

9

4

，0），点C（0，3），
∴AO=

9

4

，OC=3，
又∵CO²=AO•OB，
∴32=

9

4

OB，
∴OB=4，
∴B（4，0）把 A、B、C三点坐标代入得y=-

1

3

x2+

7

12

x+3．

（3）①OD=DB，如图：
D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H，则H是OB中点．
Ⅴ
DH=

1

2

OC，OH=

1

2

OB，
∴D(2，

3

2

)，

②BD=BO，如图：
过D作DG⊥OB，垂足是G，
∴

BG

OB

=

BD

CB

=

DG

OC

，
∵OB=4，CB=5，
∴BD=OB=4，
∴

CD

CB

=

1

5

，
∴

BG

4

=

4

5

=

DG

3

，
∴BG=

16

5

，DG=

12

5

，
∴OG=BO-BG=

4

5

，
∴D（

4

5

，

12

5

）．

点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据圆周角的性质求出角的度数．（2）用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据等腰三角形的性质确定点D的坐标．