Question

如图，⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM ：MD =3 ：2， E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F．

求：（1）⊙O的半径；

（2）求CE·CF的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）5；（2）80.

【解析】

试题分析：（1）连接AO，由OM : MD=3:2，可设OM=3 k，MD=2 k (k >0)，则OA=OD=5 k，在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1，从而求得⊙O的半径；（2）连接AE，通过证明DACE∽DFCA即可得AC²=CE×CF，在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC²=AM²+CM²=16+64=80，从而求得CE×CF=80.

试题解析：（1）如图，连接AO，

∵OM : MD=3:2，∴可设OM=3 k，MD=2 k (k >0)，则OA=OD=5 k.

又∵弦AB=8，直径CD⊥AB于M，∴AM=4.

在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1 ．

∴圆O的半径为5 ．

（2）如图，连接AE，

由垂径定理可知：ÐAEC=ÐCAF，

又∵ÐACF=ÐACF，∴DACE∽DFCA. ∴，即AC²=CE×CF.

在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC²=AM²+CM²=16+64=80 ，

∴CE×CF=80.

考点：1. 垂径定理；2. 勾股定理；3.相似三角形的判定和性质；4.待定系数法的应用.