如图.已知腰长为1的等腰直角三角形OA1B1的斜边A1B1在第一象限(顶点A1.B1在坐标轴上).以A1B1的长为腰作等腰直角三角形OA2B2.使斜边A2B2在第二象限(顶点A2.B2在坐标轴上).以A2B2的长为腰作等腰直角三角形OA3B3.使斜边A3B3在第三象限(顶点A3.B3在坐标轴上).-按如图的方式依次作下去.则A2015B2015的中点M2015的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，已知腰长为1的等腰直角三角形OA₁B₁的斜边A₁B₁在第一象限（顶点A₁、B₁在坐标轴上），以A₁B₁的长为腰作等腰直角三角形OA₂B₂，使斜边A₂B₂在第二象限（顶点A₂、B₂在坐标轴上），以A₂B₂的长为腰作等腰直角三角形OA₃B₃，使斜边A₃B₃在第三象限（顶点A₃、B₃在坐标轴上），…按如图的方式依次作下去，则A₂₀₁₅B₂₀₁₅的中点M₂₀₁₅的坐标是（-2¹⁰⁰⁶，-2¹⁰⁰⁶）．

分析利用等腰直角三角形的性质，分别求得M₁、M₂、M₃…的坐标，找出运算的规律，进一步利用符号循环的规律，利用规律解决问题．

解答解：由图可知：A₁B₁的中点M₁的坐标是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
A₂B₂的中点M₂的坐标是（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
A₃B₃的中点M₃的坐标是（-1，-1），
A₄B₄的中点M₄的坐标是（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
A₅B₅的中点M₅的坐标是（2，2），
…
又∵2015÷4=503…3，
∴A₂₀₁₅B₂₀₁₅的中点M₂₀₁₅的坐标是（-$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁴，-$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁴）=（-2¹⁰⁰⁶，-2¹⁰⁰⁶）．
故答案为：（-2¹⁰⁰⁶，-2¹⁰⁰⁶）．