Question

【题目】如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，M点在边AC上，且CM=2，过M点作AC的垂线交AB边于E点，动点P从点A出发沿AC边向M点运动，速度为1个单位/秒，当动点P到达M点时，运动停止.连接EP、EC，设运动时间为t．在此过程中:

（1）当t=1时，求EP的长度；

（2）当t为何值时，△EPC是等腰三角形？

（3）如图2，若点N是线段ME上一点，且MN=3，点Q是线段AE上一动点，连接PQ、PN、NQ得到△PQN，请直接写出△PQN周长的最小值.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）当t=1或2或（6-2）时，△PEC是等腰三角形；（3）△PQN周长的最小值是．

【解析】

（1）根据平行线的性质列出比例式，求出EP；

（2）分EP=EC、PC=PE、CP=CE三种情况，根据等腰三角形的概念、勾股定理计算即可；

（3）作点N关于AC的对称点N′，关于AB的对称点N′′，连接N′N′′交AC于P，交AB于Q，连接N′′E，根据勾股定理求出N′N′′，得到答案．

解：（1）∵∠ACB=90°，EM⊥AC，

∴EM∥BC，

∴，

∴ME=4，

当t=1秒时，AP=1，

则PM=3，

∴EP=；

（2）当EP=EC时，PM=MC，

∴4-t=2，

解得，t=2，

当PC=PE时，（4-t）2+42=（6-t）2，

解得，t=1，

当CP=CE时，22+42=（6-t）2，

解得，t1=6+（舍去），t2=6-，

当t=1或2或（6-2）时，△PEC是等腰三角形；

（3）作点N关于AC的对称点N′，关于AB的对称点N′′，连接N′N′′交AC于P，交AB于Q，连接N′′E，则△PQN即为周长最小的三角形；

由题意得，N′E=7，N′′E=NE=1，

∵ME∥BC，

∴∠AEN=∠B=45°，

∴∠N′′EN=90°，

∴N′N′′=，

则△PQN周长的最小值是．