Question

【题目】红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量y1（件）与时间t（天）的关系如图所示；未来40天内，每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y2＝（t为整数）；

（1）求日销售量y1（件）与时间t（天）的函数关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件商品就捐赠a元（a为定值）利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，第18天的时候，扣除捐赠后日销售利润为这20天中的最大值，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2t+96；（2）第14天时，销售利润最大，为578元；（3）a＝2．

【解析】

（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；

（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；

（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值．

解：（1）设一次函数为y＝kt+b，

将（30，36）和（10，76）代入一次函数y＝kt+b中，

有

解得：．

故所求函数解析式为y＝﹣2t+96；

（2）设前20天日销售利润为W1元，后20天日销售利润为W2元．

由W1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）

＝（﹣2t+96）（t+5）

＝﹣t2+14t+480

＝﹣（t﹣14）2+578，

∵1≤t≤20，

∴当t＝14时，W1有最大值578（元）．

由W2＝（﹣2t+96）（﹣t+40﹣20）

＝（﹣2t+96）（﹣t+20）

＝t2﹣88t+1920

＝（t﹣44）2﹣16．

∵21≤t≤40，此函数对称轴是t＝44，

∴函数W2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．

∴当t＝21时，W2有最大值为（21﹣44）2﹣16＝529﹣16＝513（元）．

∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；

（3）由题意得：W＝（﹣2t+96）（t+25﹣20﹣a）（1≤t≤20），配方得：

W＝﹣ [t﹣2（a+7）]2+2（a﹣17）2（1≤t≤20）

∵a为定值，而t＝18时，W最大，

∴2（a+7）＝18，解得：a＝2