题目内容
如图，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍．求出点Q的坐标；
（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍．求出点Q的坐标；
（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据直线y=-2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；
（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y=-2x+4上，设点M的坐标为（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．
（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；
（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y=-2x+4上，设点M的坐标为（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．
解答：解：（1）令x=0，则y=4，
令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，
所以，点A（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C，
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4；
（2）∵y=-2x2+2x+4=-2（x-
）2+
，
∴点P的坐标为（
，
），
如图，过点P作PD⊥y轴于D，
又∵C（0，4），
∴PD=
，CD=
-4=
，
∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，
=
×（
+2）×
-
×2×4-
×
×
，
=
-4-
，
=
，
令y=0，则-2x2+2x+4=0，
解得x1=-1，x2=2，
∴点B的坐标为（-1，0），
∴AB=2-（-1）=3，
设△ABQ的边AB上的高为h，
∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，
∴
×3h=4×
，
解得h=4，
∵4＜
，
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，
即点Q的纵坐标为4或-4，
当点Q的纵坐标为4时，-2x2+2x+4=4，
解得x1=0，x2=1，
此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
当点Q的纵坐标为-4时，-2x2+2x+4=-4，
解得x1=
，x2=
，
此时点Q的坐标为（
，-4）或（
，-4），
综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（
，-4）或（
，-4）；
（3）存在．
理由如下：如图，∵点M在直线y=-2x+4上，
∴设点M的坐标为（a，-2a+4），
①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=-2a+4或a=-（-2a+4），
解得a=
或a=4，
∴点F坐标为（0，
）时，点M的坐标为（
，
），
点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；
②∠MFE=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=
|-2a+4|，
即a=
（-2a+4），
解得a=1，
-2a+4=2×1=2，
此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），
或a=-
（-2a+4），
此时无解，
综上所述，点F坐标为（0，
）时，点M的坐标为（
，
），
点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；
点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．
令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，
所以，点A（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C，
∴
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解得
|
∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4；
（2）∵y=-2x2+2x+4=-2（x-
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴点P的坐标为（
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如图，过点P作PD⊥y轴于D，
又∵C（0，4），
∴PD=
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∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，
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=
| 45 |
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| 1 |
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=
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| 2 |
令y=0，则-2x2+2x+4=0，
解得x1=-1，x2=2，
∴点B的坐标为（-1，0），
∴AB=2-（-1）=3，
设△ABQ的边AB上的高为h，
∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，
∴
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解得h=4，
∵4＜
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| 2 |
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，
即点Q的纵坐标为4或-4，
当点Q的纵坐标为4时，-2x2+2x+4=4，
解得x1=0，x2=1，
此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
当点Q的纵坐标为-4时，-2x2+2x+4=-4，
解得x1=
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
此时点Q的坐标为（
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
（3）存在．
理由如下：如图，∵点M在直线y=-2x+4上，
∴设点M的坐标为（a，-2a+4），
①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=-2a+4或a=-（-2a+4），
解得a=
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∴点F坐标为（0，
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
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| 3 |
点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；
②∠MFE=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=
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即a=
| 1 |
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解得a=1，
-2a+4=2×1=2，
此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），
或a=-
| 1 |
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此时无解，
综上所述，点F坐标为（0，
| 4 |
| 3 |
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| 3 |
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点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；
点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点坐标的求解，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，综合性较强，难度较大，（3）要注意分情况讨论．
练习册系列答案
培优口算题卡吉林人民出版社系列答案
开心口算题卡系列答案
口算题卡河北少年儿童出版社系列答案
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