如图.已知二次函数的图象M经过A三点．(1)求该二次函数的解析式,(2)点G是线段AC上的动点(点G与线段AC的端点不重合).若△ABG与△ABC相似.求点G的坐标,(3)设图象M的对称轴为l.点D是图象M上一动点.当△ACD的面积为$\frac{27}{8}$时.点D关于l的对称点为E.能否在图象M和l上分别找到点P.Q.使得以点D.E.P.Q为顶点的四边形为平行四边形?若能.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，已知二次函数的图象M经过A（-1，0），B（4，0），C（2，-6）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；
（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（-1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为$\frac{27}{8}$时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可求得直线AC的解析式，设G（k，-2k-2），可表示出AB、BC、AG的长，由条件可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得G点坐标；
（3）可设出D点坐标，从而表示出△ACD的面积，由条件求得D点坐标，可求得DE的长，当DE为边时，根据平行四边形的性质可得到PQ=DE=2，从而可求得P点坐标；当DE为对角线时，可知P点为抛物线的顶点，可求得P点坐标．

解答解：
（1）∵二次函数的图象M经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴可设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-4）．
∵二次函数的图象M经过C（2，-6）点，
∴-6=a（2+1）（2-4），解得a=1．
∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-4），即y=x²-3x-4．

（2）设直线AC的解析式为y=sx+t，把A、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-s+t}\\{-6=2s+t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{s=-2}\\{t=-2}\end{array}\right.$，
∴线段AC的解析式为y=-2x-2，
设点G的坐标为（k，-2k-2）．
∵G与C点不重合，
∴△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$．
∵AB=5，AC=$\sqrt{[2-（-1）]^{2}+（-6-0）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，AG=$\sqrt{（k+1）^{2}+（-2k-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$|k+1|，
∴$\frac{\sqrt{5}|k+1|}{5}$=$\frac{5}{3\sqrt{5}}$，
∴|k+1|=$\frac{5}{3}$
∴k=$\frac{2}{3}$或k=-$\frac{8}{3}$（舍去），
∴点G的坐标为（$\frac{2}{3}$，-$\frac{10}{3}$）．

（3）能．理由如下：
如图，过D点作x轴的垂线交AC于点H，

∵D（m，n）（-1＜m＜2），
∴H（m，-2m-2）．
∵点D（m，n）在图象M上，
∴D（m，m²-3m-4）．
∵△ACD的面积为$\frac{27}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$[-2m-2-（m²-3m-4）][（m+1）+（2-m）]=$\frac{27}{8}$，即4m²-4m+1=0，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∴D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{21}{4}$）．
∵y=x²-3x-4=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，
∴图象M的对称轴l为x=$\frac{3}{2}$．
∵点D关于l的对称点为E，
∴E（$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{4}$），
∴DE=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2，
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：
当DE为边时，则有PQ∥DE且PQ=DE=2．
∴点P的横坐标为$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$或$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$，
∴点P的纵坐标为（$\frac{7}{2}$-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$=-$\frac{9}{4}$，
∴点P的坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
当DE为对角线时，则可知P点为抛物线的顶点，即P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．

点评本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，在（2）中确定出只有△AGB∽△ABC一种情况是解题的突破口，在（3）中求得D点的坐标从而求得DE的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．