题目内容
【题目】(本题满分9分)
刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，
，
，
；图②中，
，
，
．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将
的直角边
与
的斜边
重合在一起，并将沿方向移动．在移动过程中，
、
两点始终在边上(移动开始时点与点
重合)．
(1)在沿方向移动的过程中，刘卫同学发现：
、
两点间的距离逐渐 ▲ ．
(填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当移动至什么位置，即
的长为多少时，、的连线与
平行?
问题②：当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、
、
的长度为三边长的三角形是直角三角形?
问题③：在的移动过程中，是否存在某个位置，使得
?如果存在，
求出的长度；如果不存在，请说明理由．
请你分别完成上述三个问题的解答过程．
【答案】（1）变小
（2）
①
cm时，
②当
时，以线段
、
、
的长度为三边长的三角形是直角三角形
③不存在这样的位置，使得
【解析】
（1）变小
（2）问题①：解：∵
，
，
，
∴
.
∵
,
,
∴
.
连结，设.
∴
,在
中，DC=4.
∴
=12-4.
即cm时，
问题②：解：设当
，
在中，
.
（Ⅰ）当为斜边时，由
得，
,.
(Ⅱ)当为斜边时，由
得，
,
（不符合题意，舍去）.
(Ⅲ)当为斜边时，由
得，
,
,
=144-248<0,
∴方程无解.
∴由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)得，
当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形.
问题③不存在这样的位置，使得.
假设，由
,得
.作
的平分线，交
于
,
则
,
∴
.
∴
,
.
∴
.
∴不存在这样的位置，使得.
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