Question

如图，点P为矩形ABCD内一点，作平行四边形ABQP，连接CP、CQ、BP，E、F、G、H分别是BP、BQ、CQ、CP的中点，
（1）四边形EFGH的形状是

矩形

；
（2）若矩形ABCD的面积为S，则四边形EFGH的面积等于

1

4

S

（用含S的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的中位线定理可以证得：HG∥EF，且HG=EF，则四边形EFGH是平行四边形，然后根据平行线的性质可以证得∠HEF=90°，则平行四边形EFGH是矩形；
（2）首先根据题意可得S_{四边形PBQC}=

1

2

S_矩形ABCD=

1

2

S，再根据S_矩形HGFE=

1

2

S_{四边形PBQC}，可得答案．

解答：证明：∵E，F分别是BP，BQ的中点，
∴EF∥PQ且EF=

1

2

PQ，
同理，GH∥PQ，GH=

1

2

PQ，EH∥BC，
∴HG∥EF，且HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵PQ∥BA∥HG，
∴∠FMC=∠ABC=90°，
∵EH∥CB，
∴∠HEF=∠FMC=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形；

（2）S_{四边形PBQC}=S_△PBC+S_△CBQ=

1

2

×BC×PO+

1

2

BC×QO=

1

2

BC•（PO+QO）=

1

2

CB•PQ，
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AB=QP，
∴S_{四边形PBQC}=

1

2

BC•AB=

1

2

S_矩形ABCD=

1

2

S，
∵E、F、G、H分别是BP、BQ、CQ、CP的中点，
∴S_矩形HGFE=

1

2

S_{四边形PBQC}=

1

4

S．
故答案为：

1

4

S．

点评：此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．