Question

如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点，BE=BC，EF平分∠AEB交AB于点F，连FC．
（1）求证：EF⊥EC；
（2）

AB

BC

=

EC

FC

．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是矩形与BC=BE，易证得∠CED=∠CEB=

1

2

∠DEB，又由∠AEF=∠BEF=

1

2

∠AEB，即可证得EF⊥EC；
（2）易证得点B，C，E，F四点共圆，∠BEF=∠BCF，又由等角的余角相等，证得∠BCF=∠ECD，由∠FBC=∠D=90°，可证得△FBC∽△EDC，继而证得

AB

BC

=

EC

FC

．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CED=∠ECB，
∵BC=BE，
∴∠ECB=∠CEB，
∴∠CED=∠CEB=

1

2

∠DEB，
∵EF平分∠AEB，
∴∠AEF=∠BEF=

1

2

∠AEB，
∴∠FEC=∠FEB+∠CEB=

1

2

∠AEB+

1

2

∠DEB=

1

2

（∠AEB+∠DEB）=

1

2

×180°=90°，
∴EF⊥EC；

（2）∵EF⊥BC，
∴∠FEC=90°，
∵∠FBC=90°，
∴∠FBC+∠FEC=180°，
∴点B，C，E，F四点共圆，
∴∠BEF=∠BCF，
∵∠BEF+∠DEC=90°，∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠BCF=∠ECD，
∵∠FBC=∠D=90°，
∴△FBC∽△EDC，
∴

FC

EC

=

BC

CD

，
∵CD=AB，
∴

AB

BC

=

EC

FC

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直的定义以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．