Question

在四边形ABCD中，已知△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则边CD的长为________．

Answer 1

4
分析：首先根据题意作出图形，然后以CD为边作等边△CDE，连接AE．易证得△BCD≌△ACE，则可得AE=BD=5，又由∠ADC=30°，可求得∠ADE=90°，然后由股定理可求得DE的长，继而可求得边CD的长．
解答：解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．
∴CD=CE=DE，∠DCE=∠CDE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD，∠ACE=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
∵，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD=5．
又∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°．
在Rt△ADE中，AE=5，AD=3，
∴DE==4，
∴CD=DE=4．
故答案为：4．
点评：此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．