题目内容
（2007•河池）如图，已知抛物线y=-
x2+
x+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．（1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）已知抛物线解析式，令y=0，x=0，可求B、C两点坐标；
（2）设点P的坐标为P（x，y），由S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB可列出S与x的函数关系式，由于B（3，0），∴0≤x≤3；
（3）∵BQ为一腰，有两种可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=2，都可由相似三角形的对应边的比，求出OM、MQ的长．
解答：
解：（1）把x=0代入y=-
x2+
x+2得点C的坐标为C（0，2）
把y=0代入y=-
x2+
x+2得点B的坐标为B（3，0）
（2）连接OP，设点P的坐标为P（x，y）
S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB=
×2×x+
×3×y
=x+
（
x2+
）
∵点M运动到B点上停止，
∴0≤x≤3
∴S=-（x-
）2+
（0≤x≤3）
（3）存在．
BC=
=
①若BQ=DQ
∵BQ=DQ，BD=2
∴BM=1
∴OM=3-1=2
∴
∴QM=
所以Q的坐标为Q（2，
）．
②若BQ=BD=2
∵△BQM∽△BCO，
∴
=
=
∴
=
∴QM=
∵
=
∴
=
∴BM=
∴OM=
所以Q的坐标为Q（
，
）．
综上所述，Q的坐标为Q（2，
）或Q（
，
）．
点评：本题考查了二次函数解析式的运用，坐标系里面积表示方法，及寻找特殊三角形的条件问题，涉及分类讨论和相似三角形的运用．
（2）设点P的坐标为P（x，y），由S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB可列出S与x的函数关系式，由于B（3，0），∴0≤x≤3；
（3）∵BQ为一腰，有两种可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=2，都可由相似三角形的对应边的比，求出OM、MQ的长．
解答：
解：（1）把x=0代入y=-x2+x+2得点C的坐标为C（0，2）把y=0代入y=-
x2+x+2得点B的坐标为B（3，0）（2）连接OP，设点P的坐标为P（x，y）
S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB=
×2×x+×3×y=x+
（x2+）∵点M运动到B点上停止，
∴0≤x≤3
∴S=-（x-
）2+（0≤x≤3）（3）存在．
BC=
=①若BQ=DQ
∵BQ=DQ，BD=2
∴BM=1
∴OM=3-1=2
∴
∴QM=
所以Q的坐标为Q（2，
）．②若BQ=BD=2
∵△BQM∽△BCO，
∴
==∴
=∴QM=
∵
=∴
=∴BM=
∴OM=
所以Q的坐标为Q（
，）．综上所述，Q的坐标为Q（2，
）或Q（，）．点评：本题考查了二次函数解析式的运用，坐标系里面积表示方法，及寻找特殊三角形的条件问题，涉及分类讨论和相似三角形的运用．
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