Question

【题目】对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作 d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．

（1）当⊙O的半径为2时，

①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）=_______,d（B，⊙O）= ________；

②如果直线与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；

（2）⊙G的圆心G在轴上，半径为1，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）① 1，3；②；（2），.

【解析】

（1） ①根据图形M，N间的“近距离”的定义结合已知条件求解即可．

②根据可及图形的定义作出符合题意的图形，结合图形作答即可；

（2）分两种情况进行讨论即可.

（1）① 如图：

根据近距离的定义可知：d（A，⊙O）=AC=2-1=1.

过点B作BE⊥x轴于点E，则

OB= =5

∴d（B，⊙O）=OB-OD=5-2=3.

故答案为1，3.

② ∵由题意可知直线与⊙O互为“可及图形”，⊙O的半径为2，

∴．

∴．

∴ ．

（2）①当⊙G与边OD是可及图形时，d（O，⊙G）=OG-1,

∴

即-1≤m-1≤1

解得：.

②当⊙G与边CD是可及图形时，如图，过点G作GE⊥CD于E,

d（E，⊙G）=EG-1,

由近距离的定义可知d（E，⊙G）的最大值为1，

∴此时EG=2，

∵∠GCE=45°，

∴GC=2 .

∵OC=5,

∴OG=5-2.

根据对称性，OG的最大值为5+2.

∴

综上所述，m的取值范围为：或