Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC.

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若AC=8，tanB =，求AD的长.

Answer 1

（1）证明：∵ OD⊥AC于点E，

              ∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．

              ∵ ∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，

              ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．

                ∴ OA⊥AD于点A．

              ∵ OA是⊙O的半径，

         ∴ AD是⊙O的切线．

   （2）解：∵ OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，

           ∴ ．

             ∵ ∠B=∠C，tanB =，

           ∴ 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．

           ∴ ．

             设⊙O的半径为r，则．

             在Rt△OAE中，由勾股定理得 ，即 ．

             解得 r =5．

           ∴ 在Rt△OAE中，．

             ∴ 在Rt△OAD中，．