Question

【题目】如图1，点是正方形的中心，点是边上一动点，在上截取，连结，．初步探究：在点的运动过程中：

(1)猜想线段与的关系，并说明理由．

深入探究：

(2)如图2，连结，过点作的垂线交于点．交的延长线于点．延长交的延长线于点．

①直接写出的度数．

②若，请探究的值是否为定值，若是，请求出其值；反之，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）EO⊥FO，EO=FO；理由见解析；（2）①；②=2

【解析】

（1）由正方形的性质可得BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°，由“SAS”可证△BEO≌△CFO，可得OE=OF，∠BOE=∠COF，可证EO⊥FO；

（2）①由等腰直角三角形的性质可得∠EOG的度数；

②由∠EOF=∠ABF=90°，可得点E，点O，点F，点B四点共圆，可得∠EOB=∠BFE，通过证明△BOH∽△BIO，可得，即可得结论．

解：（1）OE=OF，OE⊥OF，连接AC，BD，

∵点O是正方形ABCD的中心

∴点O是AC，BD的交点

∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°

∵CF=BE，∠ABO=∠ACB，BO=CO，

∴△BEO≌△CFO（SAS）

∴OE=OF，∠BOE=∠COF

∵∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE+∠BOF=90°

∴∠EOF=90°，

∴EO⊥FO.

（2）

①∵OE=OF，OE⊥OF，

∴△EOF是等腰直角三角形，OG⊥EF

∴∠EOG=45°

②BHBI的值是定值，

理由如下：

如图，连接DB，

∵AB=BC=CD=2

∴BD=2，

∴BO=

∵∠AOB=∠COB=45°，∠HBE=∠GBI=90°

∴∠HBO=∠IBO=135°

∵∠EOF=∠ABF=90°

∴点E，点O，点F，点B四点共圆

∴∠EOB=∠BFE，

∵EF⊥OI，AB⊥HF

∴∠BEF+∠BFE=90°，∠BEF+∠EIO=90°

∴∠BFE=∠BIO，

∴∠BOE=∠BIO，且∠HBO=∠IBO

∴△BOH∽△BIO

∴

∴BHBI=BO2=2