Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点顶点为．

求抛物线的解析式；

求的度数；

若点是线段上一个动点，过作轴交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为．

①求线段的最大值；

②若是等腰三角形，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－4x＋3，（2）90°，（3）①，②m＝2或m＝或m＝1．

【解析】

（1）将点B,C代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可得出答案；

（2）先求出点D的坐标，然后利用OB＝OC，得出∠CBO＝45°，过D作DE⊥x 轴，垂足为E，再利用DE＝BE，得出∠DBO＝45°，则的度数可求；

（3）①先用待定系数法求出直线BC的表达式，然后设出M,N的坐标，表示出线段MN的长度，利用二次函数的性质即可求出最大值；

②分三种情况： BN＝BM， BN＝MN， NM＝BM分别建立方程求解即可．

解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，

得：，解得：．

故抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3．

（2）y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

∴D点坐标为（2，－1）．

∵OB＝OC＝3，

∴∠CBO＝45°，

过D作DE⊥x 轴，垂足为E，则DE＝BE＝1，

∴∠DBO＝45°，

∴∠CBD＝90°．

（3）①设直线BC的解析式为y＝kx＋3，得：0＝3k＋3，解得：k＝－1，

∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．

点M的坐标为（m，m2－4m＋3），点N的坐标为（m，－m＋3）．

线段MN＝（－m＋3）－（m2－4m＋3）＝－m2＋3m＝－(m－)2＋．

∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为．

②在Rt△NBH中，BH＝3－m，BN＝(3－m)．

当BN＝BM时，NH＝MH，则－m＋3＝－(m2－4m＋3)，

即m2－5m＋6＝0，解得m1＝2，m2＝3（舍去），

当BN＝MN时，－m2＋3m＝(3－m)，解得：m1＝，m2＝3（舍去），

当NM＝BM时，∠MNB＝∠NBM＝45°，则MB与x轴重合，点M与点A重合，

∴m＝1，

综合得：m＝2或m＝或m＝1．