Question

如图，?ABCD中，点E是BC边上的一点，且DE=BC，过点A作AF⊥CD于点F，交DE于点G，连结AE、EF．
（1）若AE平分∠BAF，求证：BE=GE；
（2）若点E是BC边上的中点，求证：∠AEF=2∠EFC．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，DE=BC，易证得∠AEB=∠AEG，又由AE平分∠BAF，可证得△ABE≌△AGE，即可证得BE=GE；
（2）延长AE，交DC的延长线于点M，易证得△ABE≌△MCE，又由AF⊥CD，可得EF是Rt△AFM的斜边上的中线，继而证得结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DE=BC，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED，
∴∠AEB=∠AED，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠GAE，
在△ABE和△AGE中，

∠BAE=∠GAE AE=AE ∠AEB=∠AEG

，
∴△ABE≌△AGE（ASA），
∴BE=GE；

（2）延长AE，交DC的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，∠M=∠BAE，
∵点E是BC边上的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，

∠BAE=∠M ∠AEB=∠MEC BE=CE

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AE=ME，
∵AF⊥CD，
∴EF=AE=EM=

1

2

AM，
∴∠M=∠EFC，
∴∠AEF=∠BAE+∠EFC=2∠EFC．

点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．