Question

如图，已知动点A在函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴于点P、Q．
（1）当AC=a时，请用含a的代数式表示阴影部分的面积；
（2）若ED：DP=3：5，求阴影部分的面积；
（3）若QE：DP=3：5，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）四边形AEGC和ABFD都是正方形，△ACE和△ABD都是等腰直角三角形，求得A的纵坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）作DF⊥x轴于点F，则△AED∽△FDP，则

AC

AB

=

AE

DF

=

ED

DP

=

3

5

，然后利用反比例函数中比例系数k的几何意义，即可得到AC•AB=4，即可求解；
（3）设EG=3t，则PF=5t，然后根据△ADE∽△FPD，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．

解答：解：（1）在y=

4

x

中，令x=a，则y=

4

a

，
则S_△ACE=

1

2

a²，S_△ABD=

1

2

•（

4

a

）²=

8

a2

，
则阴影部分的面积是：

1

2

a²+

8

a2

；

（2）作DF⊥x轴于点F，则△AED∽△FDP，
则

AE

DF

=

ED

DP

=

3

5

，
∵四边形AEGC和ABFD都是正方形，
∴

AC

AB

=

AE

DF

=

ED

DP

=

3

5

，
设AC=3x，则AB=5x，
∵反比例的函数的解析式是y=

4

x

，
∴AC•AB=4，
∴3x•5x=4，
解得：x²=

4

15

，
则阴影部分的面积是：

1

2

AC²+

8

AC2

=

1

2

×

4

15

×9+

8

9× 4 15

=

68

15

；
（3）：∵QE：DP=3：5，
∴EG：PF=3：5，
设EG=3t，则PF=5t，
∴A（3t，

4

3t

），
由AC=AE AD=AB，
∴AE=3t，AD=

4

3t

，DF=

4

3t

，PF=5t，
∵△ADE∽△FPD，
∴AE：DF=AD：PF，
3t：

4

3t

=

4

3t

：5t，即t²=

4 15

45

，
图中阴影部分的面积=

1

2

×3t×3t+

1

2

×

4

3t

×

4

3t

=

13 15

15

．

点评：本题考查了反比例函数y=

k

x

（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=

k

x

（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了相似三角形的判定与性质．