Question

如图，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的半圆O与直角边BC相切于点F，分别交AC、AB于点D、E．
（1）求证：OF平分∠DOE；
（2）若CD=1，CF=，求图中阴影部分面积的和．

Answer 1

（1）证明：如图，∵BC边与圆O相切于点F，
∴BC⊥OF．
又∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴AC∥OF，
∴∠2=∠3，∠1=∠4．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，即OF平分∠DOE；

（2）解：如图，过O作AC的垂线，设垂足为G，
∵AC⊥BC，BC⊥OF，
∴四边形OGCF是矩形，
∵CF是切线，CDA是割线，
∴CF²=CD•CA，
∵CD=1，CF=，
∴AC=3，
∴AD=2，
∴AG=1，
∴OF=CG=2，
连接DF．易求∠CFD=∠B=30°，∠3=∠4=60°，
∴S_阴影=S_△ABC-S_△AOD-S_扇形DFE=AC•BC-OA•ODsin60°-=×3×3-×2×2×-=-．即图中阴影部分面积的和是-．
分析：（1）利用切线的性质、平行线的判定定理推知AC∥OF，则∠2=∠3，∠1=∠4；又由等腰三角形的性质和等量代换可以求得∠1=∠3，即OF平分∠DOE；
（2）如图，连接DF．利用弦切角定理、圆周角定理推知∠3=60°．则S_阴影=S_△ABC-S_△AOD-S_扇形DFE．
点评：本题考查了切线的性质、扇形的面积计算．解答（2）题时，采用了“分割法”来计算图中阴影部分的面积．