Question

如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②→③，①③→②，②③→①．
三个选项中正确的是

①②→③；②③→①

．

Answer 1

分析：三选项中正确的是①②→③；②③→①，①②→③正确，理由为：由AD为角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理得到DE=DF，由AD为公共边，利用HL可得出直角三角形AED与直角三角形AFD全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=AF，利用三线合一得到AD垂直于EF，得证；②③→①，理由为：如图2，设AD的中点为O，连接EO，FO，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OE=OF=OA=OD，得到A，E，F，D四点共圆，由直径AD垂直于EF，利用垂径定理得到AD为角平分线，得证．

解答：解：三选项中正确的是①②→③；②③→①，
①②→③正确，理由为：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，

DE=DF AD=AD

，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF；

②③→①正确．如下图，

设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线，
∴OE=

1

2

AD，OF=

1

2

AD，
即点O到A、E、D、F的距离相等，
∴四点A、E、D、F在以O为圆心，

1

2

AD为半径的圆上，AD是直径，
∴EF是⊙O的弦，
∵EF⊥AD，
∴∠DAE=∠DAF，
即AD平分∠BAC．
故答案为：①②→③；②③→①．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．