Question

（2013年四川绵阳14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S_{四边形BCHG}，S_△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．

Answer 1

解：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E，

∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点。
∴DE是中位线。∴DE∥AC，且DE=AC。
∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE。
∴。
∵AD=AO+OD，
∴。
（2）答：点O是△ABC的重心。证明如下：
如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，

则点Q为△ABC的重心。
由（1）可知，  ，
而，
∴点Q与点O重合（是同一个点）。
∴点O是△ABC的重心。
（3）如答图3所示，连接DG．

设S_△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD，
∴S_△AOG=2S，S_△AGD=S_△GOD+S_△AGO=3S。
为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S_△BGD=3xS．
∴S_△ABD=S_△AGD+S_△BGD=3S+3xS=（3x+3）S。
∴S_△ABC=2S_△ABD=（6x+6）S。
设OH=k•OG，由S_△AGO=2S，得S_△AOH=2kS，
∴S_△AGH=S_△AGO+S_△AOH=（2k+2）S。
∴S_{四边形BCHG}=S_△ABC﹣S_△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S。
∴ ①。
如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE。
∵OF∥BC，∴。∴OF=CD=BC。
∵GE∥BC，∴。∴。
∴，∴。
∵OF∥GE，∴。∴，即。
∴，代入①式得：
。
∴当x=时，有最大值，最大值为。

（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论。
（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心。
（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值。