Question

【题目】已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴，M为它的顶点

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）求△MCB的面积；

（3）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC最小时，求最小值。

Answer 1

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=-x2+2x+3；（2）3；（3）

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先求出直线BC与对称轴的交点，即可得出MN，再用面积之和即可得出结论；

（3）先根据抛物线的对称性，判断出点P是直线BC与抛物线的对称轴l的交点，根据（2）直接得出点P坐标．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，

∴，

∴，

∴抛物线的函数关系式为y=-x2+2x+3；

（2）如图1，

由（1）知，抛物线的函数关系式为y=-x2+2x+3；

∴抛物线的对称轴为x=1，M（1，4），

∵B（3，0）、C（0，3），

∴直线BC解析式为y=-x+3，

当x=1时，y=2，

∴N（1，2）．

∴MN=2，OB=3，

∴S△MCB=S△MNC+S△MNB=MN×OB=×2×3=3；

（3）如图2，

∵直线l是抛物线的对称轴，且A，B是抛物线与x轴的交点，

∴点A，B关于直线l对称，

∴PA+PC最小时，点P就是直线BC与直线l的交点，

由（2）知，抛物线与直线BC的交点坐标为（1，2），

∴点P（1，2）．