Question

如图，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6），直线AC和直线OB相交于点M，点P是OA的中点，PD⊥AC，垂足为D．
（1）求直线AC的解析式；
（2）求经过点O、M、A的抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在Q，使得S_△PAD：S_△QOA=8：25？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出A、C两点的坐标即可求出直线AC的解析式；
（2）求出O、M、A三点坐标，将三点坐标代入函数解析式便可求出经过点O、M、A的抛物线的解析式；
（3）根据题意先求出Q点的y坐标，在根据Q在抛物线上的关系求出Q点的横坐标，便可得出答案．

解答：解：（1）由题意四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6）可知：
A、C两点坐标为A（8，0），C（0，6），
设直线AC的解析式y=kx+b，
将A（8，0），C（0，6）两点坐标代入y=kx+b，
解得

k=- 3 4 b=6

，
故直线AC的解析式为y=-

3

4

x+6；

（2）由题意可知O（0，0），M（4，3），A（8，0），
设经过点O、M、A的抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将M（4，3），A（8，0），两点坐标代入y=ax²+bx，
得

16a+4b=3 64a+8b=0

，
解得

a=- 3 16 b= 3 2

，
故经过点O、M、A的抛物线的解析式为y=-

3

16

x2+

3

2

x；

（3）∵△AOC∽△ADP，
∴

OC

PD

=

OA

AD

= 

AC

PA

，
即

6

PD

= 

8

AD

=

10

4

，
解得PD=2.4，AD=3.2，S_△PAD=

1

2

×PD×AD=

96

25

，
∵S_△PAD：S_△QOA=8：25，
∴S_△QOA=12，
S_△QOA=

1

2

×OA×|y_Q|=

1

2

×8×|y_Q|=12，
解得|y_Q|=3，
又∵点Q在抛物线上，
所以-

3

16

x2+

3

2

x=3或-

3

16

x2+

3

2

x=-3，
解方程得x₁=4，x₂=4+4

2

，x₃=4-4

2

，
故Q点的坐标为Q(4+4

2

，-3)、Q(4-4

2

，-3)、Q（4，3）．

点评：本题是二次函数的综合题，是各地中考的热点和难点，其中涉及到的知识点有抛物线解析式的求法和三角形相似等，属于较难题．解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练．