Question

小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB=3，BC=5．点P在AD上，且AP=2．一球从点P处沿与AD夹角为θ的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P₀．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．
小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC₁D₁，由轴对称的知识，发现QE=QR，PE=PQ+QR．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：
（1）点P₀与点A重合时，此球所经过的路线总长度是

 

．
（2）当点P₀落在线段AP上时（如图③），求tanθ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意得到∠HQA=∠HAQ，∠HPA=∠HAP，推出△RCS∽△PAQ，得出比例式，求出CR，根据勾股定理求出PE即可．
（2）由（1）得出tanθ=

1

2

，即可得出答案．

解答：解：（1）AS交PQ于H，
根据入射角等于反射角得到∠HQA=∠HAQ，∠HPA=∠HAP，
∴PQ=2HP=2HQ=2SR，
∵∠C=∠A=90°，∠CRS=∠QPA，
∴△RCS∽△PAQ，
∴

AP

CR

=

PQ

SR

=2，
∵PA=2，
∴CR=1，
EC₂=1，
由勾股定理得：PE=

(2-1+5)2+32

=3

5

，
同理：SR+AS=

(5+1)2+32

=3

5

，
∴3

5

+3

5

=6

5

，
故答案为：6

5

．

（2）由（1）知：BR=5-1=4，
∴

AQ

BQ

=

AP

BR

=

1

2

，
∵AB=3，
∴AQ=1，
∴tanθ=

AQ

AP

=

1

2

，
当P₀在P点上时，tanθ=

3

5

，
∴当点P₀落在线段AP上时，tanθ的取值范围是

1

2

≤tanθ≤

3

5

．

点评：本题主要考查对勾股定理，矩形的性质，轴对称性质，解直角三角形，翻折变换等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．