题目内容
小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB=3，BC=5．点P在AD上，且AP=2．一球从点P处沿与AD夹角为θ的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC1D1，由轴对称的知识，发现QE=QR，PE=PQ+QR．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：
（1）点P与点A重合时，此球所经过的路线总长度是______
【答案】分析：（1）根据题意得到∠HQA=∠HAQ，∠HPA=∠HAP，推出△RCS∽△PAQ，得出比例式，求出CR，根据勾股定理求出PE即可．
（2）由（1）得出tanθ=
，即可得出答案．
解答：
解：（1）AS交PQ于H，
根据入射角等于反射角得到∠HQA=∠HAQ，∠HPA=∠HAP，
∴PQ=2HP=2HQ=2SR，
∵∠C=∠A=90°，∠CRS=∠QPA，
∴△RCS∽△PAQ，
∴
=
=2，
∵PA=2，
∴CR=1，
EC2=1，
由勾股定理得：PE=
=3
，
同理：SR+AS=
=3
，
∴3
+3
=6
，
故答案为：6
．
（2）由（1）知：BR=5-1=4，
∴
=
=
，
∵AB=3，
∴AQ=1，
∴tanθ=
=
，
当P在P点上时，tanθ=
，
∴当点P落在线段AP上时，tanθ的取值范围是
≤tanθ≤
．
点评：本题主要考查对勾股定理，矩形的性质，轴对称性质，解直角三角形，翻折变换等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
（2）由（1）得出tanθ=
，即可得出答案．解答：
解：（1）AS交PQ于H，根据入射角等于反射角得到∠HQA=∠HAQ，∠HPA=∠HAP，
∴PQ=2HP=2HQ=2SR，
∵∠C=∠A=90°，∠CRS=∠QPA，
∴△RCS∽△PAQ，
∴
==2，∵PA=2，
∴CR=1，
EC2=1，
由勾股定理得：PE=
=3，同理：SR+AS=
=3，∴3
+3=6，故答案为：6
．（2）由（1）知：BR=5-1=4，
∴
==，∵AB=3，
∴AQ=1，
∴tanθ=
=，当P在P点上时，tanθ=
，∴当点P落在线段AP上时，tanθ的取值范围是
≤tanθ≤．点评：本题主要考查对勾股定理，矩形的性质，轴对称性质，解直角三角形，翻折变换等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
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