Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点F是点B关于x轴的对称点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点F，与直线AB交于点C．

（1）求b和c的值；

（2）点P是直线AC下方的抛物线上的一动点，连结PA，PB．求△PAB的最大面积及点P到直线AC的最大距离；

（3）点Q是抛物线上一点，点D在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）b＝，c＝﹣；（2），；（3）点Q的坐标为：（﹣1﹣，）或（，﹣）或（﹣1+，）或（，）或（﹣，﹣）．

【解析】

（1）直线与轴交于点，与轴交于点，则点、的坐标分别为：、，则点，抛物线经过点和点，则，将点的坐标代入抛物线表达式并解得：；

（2）过点作轴的平行线交于点，设出点P，H的坐标，将△PAB的面积表示成△APH和△BPH的面积之和，可得函数表达式，可求△PAB的面积最大值，此时设点P到AB的距离为d，当△PAB的面积最大值时d最大，利用面积公式求出d.

（3）若存在以，，，为顶点且为边的平行四边形时，平移AP，得出所有可能的情形，利用平行四边形的对称性得到坐标的关系，即可求解．

解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，

令x=0，则y=，令y=0，则x=-3，

则点、的坐标分别为：、，

∵点F是点B关于x轴的对称点，

∴点，

∵抛物线经过点和点，则，

将点代入抛物线表达式得：，

解得：，

故抛物线的表达式为：，

，；

（2）过点作轴的平行线交于点，

设点，则点，

则的面积：

当时，

，

且，

∴的最大值为，此时点，，

设：到直线的最大距离为，

，解得：；

（3）存在，理由：

点，点，，设点，，

①当点在轴上时，

若存在以，，，为顶点且为边的平行四边形时，如图，

三种情形都可以构成平行四边形，

由于平行四边形的对称性可得图中点Q到x轴的距离和点P到x轴的距离相等，

∴，

即，

解得：（舍去）或或；

②当点在轴上时，如图：

当点Q在y轴右侧时，由平行四边形的性质可得：

=3，

∴

∴m=，代入二次函数表达式得：y=

当点Q在y轴左侧时，由平行四边形的性质可得：

=,

∴，

∴，代入二次函数表达式得：y=

故点，或，；

故点的坐标为：，或，或，或，或，．