Question

如图，△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥BC，点O是AD的中点，过O点的直线MN分别交线段AB和AC于点M，N，若AM：MB=3：5，则AN：NC的值是

3：1

．

Answer 1

分析：过点O作OE∥AC交AB于E，作OF∥AB交AC于F，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出∠BAD=∠CAD=60°，然后得到△AOE和△AOF都是等边三角形，根据比例设AM、MB分别为3k、5k，然后求出AC=AB=8k，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD=4k，再根据点D是AD的中点求出AO=2k，然后求出ME，再利用平行线分线段成比例定理列式求出AN的长，然后求出NC，最后求解即可．

解答：解：如图，∵∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°×2=120°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×120°=60°（等腰三角形三线合一），
过点O作OE∥AC交AB于E，作OF∥AB交AC于F，
则∠AOE=∠CAD=60°，∠AOF=∠BAD=60°，
∴△AOE和△AOF都是等边三角形，
∴AE=AE=AO，
∵AM：MB=3：5，
∴AM=3k，MB=5k，
∴AC=AB=3k+5k=8k，
∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×8k=4k，
∵点O是AD的中点，
∴AO=

1

2

AD=

1

2

×4k=2k，
∴ME=AM-AE=3k-2k=k，
∴

OE

AN

=

ME

AM

，
即

2k

AN

=

k

3k

，
解得AN=6k，
∴NC=AC-AN=8k-6k=2k，
∴AN：NC=6k：2k=3：1．
故答案为：3：1．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理：若两条直线被一组平行线被截，那么所截得的线段对应成比例，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．