Question

已知如图，半径为2的⊙A与直线l相切于C，点B与⊙A在l的同旁，与l的距离BD=6，DC=15，点P为l上到A、B两点距离之和为最短的一点，试确定P点的位置，并求出PC和PD．

Answer 1

分析：由已知先以l为对称轴作点A的对称点A’，连接BA’，交l与点P，根据轴对称性质及两点之间线段最短确定点P，再根据求两个直角三角形的正切值求出PC和PD．

解答：解：∵半径为2的⊙A与直线l相切于C，
∴以l为对称轴作点A的对称点A′，
连接BA’，交l与点P，
点P即要求的点，
∵PA=PA′，
∴PA+PB=PA′+PB=BA′（两点之间线段最短）；

由作图得∠APC=∠A′PC，
∵∠A′PC=∠BPD（对顶角相等），
∴∠BPD=∠APC，
∴由已知在Rt△PDB和Rt△PCA中，
∴tan∠BPD=tan∠APC，
∴

BD

PD

=

AC

DC-PD

，
即

6

PD

=

2

15-PD

，
得：PD=

45

4

，
则PC=15-PD=

15

4

．

点评：此题考查的知识点是切线的性质，关键是运用轴对称，两点之间线段最短及三角函数值解答．