Question

已知如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥ BF于点D。
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半径。

Answer 1

解：（1）连接AO， ∵AO=BO ∴∠2=∠3， ∵BA平分∠CBF， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠1， ∴DB//AO， ∵AD⊥DB， ∴∠BDA=90° ∴∠DAO =90°， ∵AO是⊙O半径， ∴DA为⊙O的切线．；
（2）∵AD⊥DB，BD=1，tan∠BAD=1/2， ∴AD=2， 由勾股定理，得 ∴sin ∠4= ∵BC是⊙O直径， ∴∠BAC=90°， ∴∠C+∠2=90°， 又∵∠4+∠1=90°，∠2=∠1， ∴∠4=∠C， 在Rt △ABC中， BC===5， ∴⊙O的半径为5/2。