Question

【题目】图1是一个高脚杯截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，，点是的中点，当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为，将高脚杯绕点缓缓倾斜倒出部分液体，当时停止，此时液面为，则液面到平面的距离是________________；此时杯体内液体的最大深度为_____________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作CD的垂线FG，DF绕F旋转后为FP，作PH垂直EF的延长线于H，利用三角函数和差公式计算出，从而求得，进而求解.

建立直角坐标系，在DG下方的抛物线上任取一点Q，过点Q作y轴的平行线交DG于点P，过点Q作DG的垂线QM，垂足为M.求出直线DG及抛物线解析式，利用三角形DGQ的面积作为桥梁可求出QM的最大值，即杯体内液体的最大深度.

解：如图：作CD的垂线FG，DF绕F旋转后为FP，作PH垂直EF的延长线于H，

由题意可知：FG=21，DG=，

所以DF=，

所以

所以＝，

所以=

所以PH=FP==，

液面到平面的距离是；

如图3，建立直角坐标系，在DG下方的抛物线上任取一点Q，过点Q作y轴的平行线交DG于点P，过点Q作DG的垂线QM，垂足为M，

由题意可知DG绕F点顺时针旋转后与水平方向平行，所以旋转前DG与水平方向的夹角为，设直线DG的解析式为y=kx+b，

由题意可知，点D的坐标为，

，

所以，

设抛物线的解析式为，经过点D，

所以a=1，

所以，

由得点G的坐标为，

设Q的坐标为，点P的坐标为，

所以PQ==，

当时，PQ有最大值为，

又因为=，

所以当PQ取最大值时，有最大值=，

=，

又因为=，

所以当有最大值时，QM有最大值，

，

所以QM=

所以旋转后杯体内液体的最大深度为，

故答案是：；.