Question

如图，二次函数y=的图象与x轴的交点是A(m，0)、B（n，0），与y轴的交点是C(0, 2)．
(1)求m、n的值．
(2)设P（x, y）（0< x < n）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．  
①线段PQ的长度是否存在最大值？如果存在，最大值是多少？如果不存在，请说明理由  
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1) ∵抛物线过C(0 ，2) ，∴OC=2．    
∵抛物线过A(m，0)、B(n，0)，   
 ∴m、n是一元二次方程的两根，  解得=3， =6. 
 ∴m=3，n=6．      
(2)①存在．
  设直线BC的函数解析式为y=kx+b．  
则有解得
∴直线BC的函数解析式为y=．   ∵ 0< x <6．

∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值，最大值为1
②存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形．   分以下三种情况进行讨论来求点P的坐标：
当∠OAQ =90°时，点P与点A重合，
∴ (3，0)．当∠QOA =90°时，点P与点C重合，
∴x =0（不合题意）
当∠OQA =90°时，设Po与x轴交于点D，如图．    

∵ ∠QOD + ∠OQD =90°，∠OQD+ ∠AQD=90°,
∴∠QOD= ∠AQD．
又∵ ∠ODQ= ∠QDA =90°
∴△ODQ∽△QDA，
∴，即
∴．   整理得 =0，解得．  
∴，
∴．
综上， ．