Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．
（1）填表：

三边a、b、c	a+b-c	S l
3、4、5	2
5、12、13	4
8、15、17	6

（2）如果a+b-c=m，观察上表猜想：

S

l

=

 

，（用含有m的代数式表示）；
（3）说出（2）中结论成立的理由．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC的面积S=

1

2

ab，周长l=a+b+c，分别将3、4、5，5、12、13，8、15、17三组数据代入两式，可求出

S

l

的值；
（2）通过观察以上三组数据，可得出：

S

l

=

m

4

；
（3）根据lm=（a+b+c）（a+b-c），a²+b²=c²，S=

1

2

ab可得出：lm=4s，即

S

l

=

m

4

．

解答：解：（1）∵Rt△ABC的面积S=

1

2

ab，周长l=a+b+c，故当a、b、c三边分别为3、4、5时，S=

1

2

×3×4=6，l=3+4+5=12，故

S

l

=

1

2

，同理将其余两组数据代入可得

S

l

为1，

3

2

．
∴应填：

1

2

，1，

3

2

（2）通过观察以上三组数据，可得出

m

4

．

（3）∵l=a+b+c，m=a+b-c，
∴lm=（a+b+c）（a+b-c）
=（a+b）²-c²
=a²+2ab+b²-c²．
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²，s=

1

2

ab，
∴lm=4s．即

s

l

=

m

4

．

点评：本题主要考查勾股定理在解直角三角形面积和周长中的运用．