Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．

（1）求证：PB为⊙O的切线；

（2）试探究线段AD、AB、CP之间的等量关系，并加以证明.

Answer 1

（1）证明：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°.

           ∵OA=OB，OP⊥AB于C，∴BC=CA，PB=PA.

            在△PBO和△PAO中,，∴△PBO≌△PAO，

            ∴∠PBO=∠PAO=90°，∴PB为⊙O的切线.

（2）AB²=2AD•PC.

    证明：∵∠OBP=∠BCO=90°，∴△OCB∽△BCP，∴，即BC²=OC•PC.

          ∵OC=AD，BC=AB，∴=AD•PC，∴AB²=2AD•PC.