Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，连接CD，且CD=CA，BD=，tan∠ADC=2．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）求半圆O的直径；
（3）求AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，由于OB=OD，那么∠1=∠2，又CA=CD，于是∠ADC=∠A，根据∠ACB=90°，易知∠A+∠1=90°，等量代换则有∠ADC+∠2=90°，再根据平角定义，那么可知∠CDO=90°，根据切线的判定可知CD是⊙O切线；
（2）连接DE，由于BE是直径，那么易知∠1+∠3=90°，而∠1+∠A=90°，∠A=∠ADC，易得∠3=∠ADC，于是tan∠3=tan∠ADC=2，在Rt△BDE中，BD=6，那么可求DE=3，再利用勾股定理可求AB；
（3）作CF⊥AD于点F，由于CD=CA，利用等腰三角形三线合一定理可知AD=2AF=2DF，设DF=x，在Rt△CDF中，结合tan∠ADC=2，可求CF=2x，同理可求BF=4x，于是BD=3x，进而可求x，从而易求
AD．
解答：（1）证明：如图，连接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
∵CA=CD，
∴∠ADC=∠A，
在△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠1=90°，
∴∠ADC+∠2=90°，
∴∠CDO=90°，
∵OD为半圆O的半径，
∴CD为半圆O的切线；

（2）解：如图，连接DE，
∵BE为半圆O的直径，
∴∠EDB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠ADC=∠3，
∴，
∴，
∴；

（3）解：作CF⊥AD于点F，
∵CD=CA，
∴AD=2AF=2DF，
设DF=x，
∵tan∠ADC=2，
∴CF=2x，
∵∠1+∠FCB=90°，
∴∠FCB=∠ADC，
∴tan∠FCB=2，
∴FB=4x，
∴BD=3x=，
解得，
∴AD=2DF=2x=．
点评：本题考查了切线的判定、勾股定理、正切的计算、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是连接OD、DE，作CF⊥AD，这样可构造直角三角形，便于计算．