Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=5，sinB=

1

2

，点D在OC的延长线上，OD⊥AB，∠CAD=30°，则AD=

 

；如果点M在⊙O内运动，则点M运动到△ABC内部的概率是

 

（不计△ABC，⊙O的边界）．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理及∠CAD=30°，利用解直角三角形的知识求出AD的长；
（2）求出⊙O的面积为25π，△ABC的面积为

1

2

AB•EC=

25 3

4

，计算比值即可．

解答：解：（1）设AB与OD交于点E．
根据垂径定理可知：C是

AB

的中点，有AC=BC．
Rt△BEC中：sinB=

1

2

，∠B=30°，BE=

5 3

2

，
Rt△AED中，∠EAD=60°，AD=2BE=5

3

；

（2）在（1）中，易得OC=OB=BC=5，⊙O的面积为25π，△ABC的面积为

1

2

AB•EC=

25 3

4

；故M运动到△ABC内部的概率是

25 3 4

25π

=

3

4π

．

点评：本题考查了对几何图形的分析，判断能力；同时考查了关于概率的计算．是一道综合了几何、代数的题目，有一定的难度．