Question

【题目】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，2），B（n，4）两点，连接OA、OB．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）在直角坐标系中，是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）的面积为；（3）存在，点的坐标为（-3，-6），（1，-2）（3，6）．

【解析】

（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可求出k2和n的值，可得反比例函数解析式，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；

（2）设一次函数与轴交于点，过点、分别向轴作垂线，垂足为点、，令x=0，可求出点C的坐标，根据即可得答案；

（3）分OA、OB、AB为对角线三种情况，根据A、B坐标可得直线OA、OB的解析式，根据互相平行的两条直线斜率相同可知直线OP、AP、BP的斜率，利用待定系数法可求出其解析式，进而联立解析式求出交点坐标即可得答案．

（1）∵点，在反比例函数上，

∴，，

∴，，

∴，，

∵点，在一次函数上，

∴，，

∴，，

∴，

∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．

（2）如图，设一次函数与y轴交于点，过点、分别向轴作垂线，垂足为点、，

∵当时，，

∴点的坐标为，

∵，，

∴，，

∴，

即的面积为．

（3）∵点A（2，2），B（-1，-4），

∴直线OA的解析式为y=x，直线OB的解析式为y=4x，直线AB的解析式为y=2x-2，

①如图，当OA//PB，OP//AB时，

∴直线OP的解析式为y=2x+b1，

设直线PB的解析式为y=x+b1，

∵点B（-1，-4）在直线上，

∴-4=-1+b1，

解得：b1=-3，

∴直线PB的解析式为y=x-3，

联立直线OP、BP解析式得：，

解得：，

∴点P坐标为（-3，-6），

②如图，当OB//AP，OA//BP时，同①可得BP解析式为y=x-3，

设AP的解析式为y=4x+b2，

∵点A（2，2）在直线AP上，

∴2=2×4+b2，

解得：b2=-6，

∴直线AP的解析式为y=4x-6，

联立PB和AP解析式得：，

解得：，

∴点P坐标为（1，-2），

③如图，当OP//AB，OB//AP时，

同①②可得：直线OP的解析式为y=2x，直线AP的解析式为y=4x-6，

联立直线OP和AP解析式得：，

解得：，

∴点P坐标为（3，6），

综上所述：存在点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为（-3，-6），（1，-2）（3，6）．