Question

【题目】己知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论： ①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（ ）

A. ①③④B. ①②③C. ①③D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP．

解：①如图，连接OB，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，

∴OB＝OC，∠ABC＝90°∠BAD＝30°

∵OP＝OC，

∴OB＝OC＝OP，

∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确；

②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∵点O是线段AD上一点，

∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；

③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，

∴∠APC＋∠DCP＝150°，

∵∠APO＋∠DCO＝30°，

∴∠OPC＋∠OCP＝120°，

∴∠POC＝180°（∠OPC＋∠OCP）＝60°，

∵OP＝OC，

∴△OPC是等边三角形；故③正确；

④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PB，

∵∠PAE＝180°∠BAC＝60°，

∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，

∴∠APO＋∠OPE＝60°，

∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，

∴∠APO＝∠CPE，

∵OP＝CP，

在△OPA和△CPE中，

，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO＝CE，

∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确；

本题正确的结论有：①③④，

故选：A.