Question

已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'.

（1）如图1，∠AEE'=       °；

（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；

（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE=，求ME的长.

Answer 1

解：(1) 30°.

        (2)当点E在线段CD上时，；   

           当点E在CD的延长线上，

           时，；

           时，； 

           时，.

       (3)作于点G, 作于点H.

          由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，

易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形.

          则GH=AD , BG=CH.

          ∵,

          ∴点、B、C在一条直线上.

设AD=AB=CD=x,则GH=x,BG=CH=,.

作于Q.

在Rt△EQC中，CE=2, ,

∴, .

∴E'Q=.

          作于点P.

          ∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'.

∴△A EE'是等腰三角形，.

∴在Rt△AP E'中，E'P=.

∴EE'=2 E'P=.    

∴在Rt△EQ E'中，E'Q=.

∴.

∴.          

∴，.

∴

          在Rt△E'AF中,,

   ∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'.

   ∴

∴.

∴.

由（2）知：.[来源:Z*xx*k.Com]

∴.