Question

如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．

求证：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．                                                   

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，…………………1分

∴∠A′DE=90°，…………………………………………………………2分

根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，………………………………………………………3分

∴∠A′ED=45°，……………………………………………………4分

∴A′D=DE，…………………………………………………………5分

在△AA′D和△CED中，∴△AA′D≌△CED（SAS）； ………6分

（2）∵AC=A′C，∴点C在AA′的垂直平分线上，……………………………………7分

∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAE=45°，…………………………………8分

∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D，…………………………………………………9分

在△AEB′和△A′ED中，∴△AEB′≌△A′ED，∴AE=A′E，……10分

∴点E也在AA′的垂直平分线上，…………………………………………………11分

∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．……………………………………………12分