Question

如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，∠ABE = 30°，BE = DE，联结BD．点M为线段DE上的任意一点，过点M作MN // BD，与BE相交于点N．

（1）如果，求边AD的长；

（2）如图1，在（1）的条件下，如果点M为线段DE的中点，联结CN．过点M作MF⊥CN，垂足为点F，求线段MF的长；

（3）试判断BE、MN、MD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．

 

Answer 1

解：（1）由矩形ABCD，得  AB = CD，∠A =∠ADC = 90°．

在Rt△ABE中，∵  ∠ABE = 30°，，

∴  ，BE = 2AE = 4．

又∵  BE = DE，∴  DE = 4．

于是，由  AD = AE +DE，得  AD = 6．

（2）联结CM．

在Rt△ABD中，．

∴  BD = 2AB，即得  ∠ADB = 30°．

∵  MN // BD，∴  ∠AMN =∠ADB = 30°．

又∵  MN // BD，点M为线段DE的中点，

∴  DM = EM = 2，．

∴  ．

在Rt△CDM中，．

∴  ∠CMD = 60°，即得  CM = 4，∠CMN = 90°．

由勾股定理，得  ．

于是，由  MF⊥CN，∠CMN = 90°，

得  ．

（3）． 证明如下：过点E作EF⊥BD，垂足为点F．

∵  BE = DE，EF⊥BD，∴  BD = 2DF．

在Rt△DEF中，由  ∠EDB = 30°，

得  ，即得  ．

∵  MN // BD，

∴  ，，即得  ，BN = DM．

∴  ．

于是，由  BE = BN +EN，得  ．