Question

【题目】某校初二数学兴趣小组活动时，碰到这样一道题：

“已知正方形，点分别在边上，若，则”．

经过思考，大家给出了以下两个方案：

（甲）过点作交于点，过点作交于点；

（乙）过点作交于点，作交的延长线于点；同学们顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．

（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；

图1 图2

（2）如果把条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为l，的长为（如图2），试求的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）选乙，过点作交于点，作交的延长线于点，通过证△AMB≌△ADN来得出结论；

（2）按（1）的思路也要通过构建全等三角形来求解，可过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，将△AND绕点A旋转到△APB，不难得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM＝MN，而MB的长可在直角三角形ABM中根据AB和AM（即HF的长）求出．如果设DN＝x，那么NM＝PM＝BM＋x，MC＝BCBM＝1BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的长，进而可在直角三角形AND中求出AN即EG的长．

（1）证明：过点作交于点，作交的延长线于点

∴，，

∵正方形

∴，，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴即.

（2）解：过点作交于点，过点作交于点，

∵，，

∴在中，，

将绕点旋转到，

∵与的夹角为

∴

∴，即

从而

∴

设，则，，

在中，，

解得：

∴.