Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，B、C两点的坐标分别为B（1，0）、，且当x=-10和x=8时函数的值y相等．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接MN，将△BMN沿MN翻折，当运动时间为几秒时，B点恰好落在AC边上的P处？并求点P的坐标；
（3）上下平移该抛物线得到新的抛物线，设新抛物线的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，若△ODE与△OBC相似，求新抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）∵当x=-10和x=8时函数的值y相等，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1．
由题意得：a+b+c=0，c=，，
∴；

（2）令y=0，则x=-3或1，∴A（-3，0），
易得．
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°，
∴BM=BN=PN=PM，
∴四边形BNPM为菱形，
∴PM=BN．
设运动t秒后点B在AC上，
∵PN∥AB，
∴，∴．
∴PM=BN=，
过P作PE⊥AB于E，
在Rt△PEM中，PE=sin60°=，
∴OM=BM-OB=-1=，OE=1．
∴P（-1，）；

（3）设所求抛物线的解析式为y=-（x+1）²+k．
Rt△OBC中，∠OBC=60°，
若△ODE与△OBC相似，则：
①∠DOE=60°，
Rt△ODE中，OE=1，则DE=
故D（-1，）或（-1，-）
∴平移后的抛物线解析式为：y=-（x+1）²+或y=-（x+1）²-
②∠DOE=30°
Rt△ODE中，OE=1，则DE=
故D（-1，）或（-1，-）
∴平移后的抛物线解析式为：y=-（x+1）²+或y=-（x+1）²-
综上所述，存在符合条件的抛物线，且解析式为：
y=-（x+1）²+或y=-（x+1）²-或y=-（x+1）²+或y=-（x+1）²-．
分析：（1）由于当x=-10和x=8时函数的值y相等，可得抛物线的对称轴为x=-1，将B、C坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程，即可求得a、b、c的值；
（2）根据B、C坐标知：OB=1，OC=，得∠OBC=60°，若△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，那么四边形MBNP为菱形，此时NP=BM=t，易得△CPN∽△CAB，根据相似三角形得到的比例线段，即可求得t的值，由此可得PM的长，过P作PE⊥AB于E，由于∠PMA=60°，通过解直角三角形，可得到ME、PE的长，进而求得点P的坐标；
（3）由于是上下平移抛物线，所以抛物线的二次项系数、抛物线对称轴方程都没有变化，可设出平移的距离，从而表示出平移后的抛物线解析式，然后分两种情况考虑：
①∠DOE=60°，此时△DOE∽△CBO，易求得OE=1，那么DE=，即D点纵坐标的绝对值为，可据此求出平移后的抛物线解析式；
②∠DOE=30°，此时△DOE∽△BCO，同①可求得DE=，即D点纵坐标的绝对值为，就可求得平移后的抛物线解析式．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中，由于相似三角形的对应顶点不明确，需要分类讨论，以免漏解．