题目内容
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”
（1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，
，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a, ∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为s
①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求
的值；
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”？请直接写出tanβ的取值范围。
（4）本小题为选做题
依据（3）中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）。
（1）
（2）见解析（3）①
或
②
（4）见解析
【解析】解：（1）作图如下，△ABC即为所求。
（2证明：取AC的中点D，连接BD，
∵∠C=90°，
，∴
。
设
，由
，
。
∴
。
∴AC=BD。∴△ABC是“好玩三角形”。
（3）①若β=45°，当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”。
当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，
∵PC=QC，∠ACB=∠ACD，∴AC是PQ的垂直平分线。
∴AP=AQ。
∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，∴△AEF∽△CEP。
∴
。
∵PE=CE，∴
。
ⅰ）当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，
，∴
。
ⅱ）当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，
作QN⊥AP于点N，∴MN=AN=
PM。
∴QN=
MN。
∴
。
∴
。
∴
。
综上所述，
的值为或。
②。
（4）若
，则在点P，Q的运动过程中，使得△APQ是“好玩三角形”的个数为2。
（1）作边AB，取AB中点D，以点D 为圆心，AB长画圆，圆上异于点A、B 的任一点C与点A、B连成的三角形就是“好玩三角形”。
（2）取AC的中点D，连接BD，应用锐角三角函数定义和勾股定理证明AC=BD即可。
（3）①先确定当点P在BC上时才可能使△APQ是“好玩三角形”，从而分底边PQ与它的中线AE相等和腰AP与它的中线QM相等两种情况求解。
②由①知两上临界点
和2，即可得出结论。
（4）在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系如下：
|
tanβ的取值范围 |
“好玩三角形”的个数 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
无数个 |
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，求证：△ABC是“好玩三角形”；
的值
，求证：△ABC是“好玩三角形”；
的值；
，求证：△ABC是“好玩三角形”；
的值；