Question

小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CA＝30 cm，在AB边上有一系列点P₁，P₂，P₃…P₈，使得∠P₁CA＝10°，∠P₂CA＝20°，∠P₃CA＝30°，…∠P₈CA＝80°．

（1）求P₃A的长（结果保留根号）；

（2）求P₅A的长（结果精确到1 cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，≈1.7）；

（3）小明发现P₁，P₂，P₃…P₈这些点中，相邻两点距离都不相同，于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”，结果会怎样呢？请你帮他继续探究．

 

Answer 1

解：（1）连接P₃C．

∵∠P₃CA＝∠A，∴P₃C＝P₃A．

又∵∠P₃CB＝∠BCA－∠P₃CA＝60°，且∠B＝∠BCA－∠A＝60°，

∴∠P₃CB＝∠B，∴P₃C＝P₃B，

∴P₃A＝P₃B＝AB．

在Rt△ABC中，cos∠A＝，

∴AB＝＝20 cm．

∴P₃A＝AB＝10 cm． ……………………………………………3分

（2）连接P₅C，作P₅D⊥CA，垂足为D．

      由题意得，∠P₅CA＝50°，设CD＝x cm．

在Rt△P₅DC中，tan∠P₅CD＝，∴P₅D＝CD·tan∠P₅CD＝1.2x．

在Rt△P₅DA中，tan∠A＝，∴DA＝＝1.2x．

∵CA＝30 cm，∴CD＋DA＝30 cm．

∴x＋1.2x＝30．∴x＝．

在Rt△P₅DA中，sin∠A＝，∴P₅A＝＝2.4x．

∴P₅A＝2.4×≈24 cm．………………………………………7分

（3）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°．

当P₁，P₂，P₃…P₈在斜边上时．

∵∠B＝90°－∠A＝45°，

∴∠B＝∠A，∴AC＝BC．

在△P₁CA和△P₈CB中，

∵∠P₁CA＝∠P₈CB，AC＝BC，∠A＝∠B，

∴△P₁CA≌△P₈CB．∴P₁A＝P₈B．

同理可得P₂A＝P₇B，P₃A＝P₆B，P₄A＝P₅B．

则P₁P₂＝P₈P₇，P₂P₃＝P₇P₆，P₃P₄＝P₆P₅．

在P₁，P₂，P₃…P₈这些点中，有三对相邻点距离相等．

（回答“当P₁，P₂，P₃…P₈在直角边上时，P₁，P₂，P₃…P₈这些点中，相邻两点距离都不同相”，得1分，根据等腰三角形轴对称性直接得出结论，得2分）………………………………………………………10分