Question

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A'B'O．
（1）一抛物线经过点A'、B'、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB'A'B的面积是△A'B'O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB'A'B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB'A'B的两条性质．

Answer 1

解：（1）△A'B'O是由△ABO绕原点O 逆时针旋转90°得到的， 又A（0，1），B（2，0），O（0，0）， ∴A'（﹣1，0），B'（0，2）． 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)， ∵抛物线经过点A'、B'、B， ∴， 解之得， ∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2； （2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点， 设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2． 连接PB，PO，PB'， ∴S四边形PB'A'B=S△B'OA'+S△PB'O+S△POB =x+(﹣x2+x+2)+1 =﹣x2+2x+3， 假设四边形PB'A'B的面积是△A'B'O面积的4倍， 则﹣x2+2x+3=4， 即x2﹣2x+1=0，解之得x=1， 此时y=﹣12+1+2=2，即P(1，2)， ∴存在点P（1，2）， 使四边形PB'A'B的面积是△A'B'O面积的4倍； （3）四边形PB'A'B为等腰梯形； 答案不唯一，下面性质中的任意2个均可． ①等腰梯形同一底上的两个内角相等； ②等腰梯形对角线相等； ③等腰梯形上底与下底平行； ④等腰梯形两腰相等． 或用符号表示： ①∠B'A'B=∠PBA'或∠A'B'P=∠BPB'； ②PA'=B'B； ③B'P∥A'B； ④B'A'=PB．