Question

【题目】如图，Q为正方形ABCD外一点，连接BQ，过点D作DQ⊥BQ，垂足为Q，G、K分别为AB、BC上的点，连接AK、DG，分别交BQ于F、E，AK⊥DG，垂足为点H，AF＝5，DH＝8，F为BQ中点，M为对角线BD的中点，连接HM并延长交正方形于点N，则HN的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由于M是对角线BD中点，因此连接AC，则AC必过M点，且A、H、M、D四点共圆，从而∠DHM=∠MAD=45°，作NP⊥DH于P，则PH=NP，△NPD与△DHA相似，因此只要知道AH与DH之比就可以解决问题了．而DH已知，AF已知，只需求出FH即可．作BR⊥AK于R，连接MR，MF，作MO⊥HR于O，注意到F为BQ中点，于是FM是中位线，由A、M、R、B四点共圆可得△MHR是等腰直角三角形，于是MO=HO=OR，结合△MFO～△FBR，△ABR≌△DAH得到的等量关系可以解出HF的长度，从而求得HN的长度．

连接AC，则AC必过BD中点M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，

作BR⊥AK于R，连接MR，

则∠ABR+∠BAR＝∠BAR+∠DAH＝90°，

∴∠ABR＝∠DAH，

∵DG⊥AK于H，

∴∠DHA＝∠ARB＝90°，

在△ABR和△DAH中：

∴△ABR≌△DAH（AAS），

∴BR＝AH，AR＝DH，

∵正方形对角线AC、BD交于点M，

∴AM＝BM＝DM，∠BMA＝∠AMD＝90°，∠MBA＝∠MAB＝∠MAD＝∠MDA＝45°，

∴∠BRA＝∠BMA，∠AHD＝∠AMD，

∴A、B、R、M四点共圆，A、H、M、D四点共圆，

∴∠ARM＝∠ABM＝45°，∠DHM＝∠DAM＝45°，

∴∠RHM＝∠RHD﹣∠DHM＝90°﹣45°＝45°，

∴∠RHM＝∠HRM＝45°，

∴△HMR是等腰直角三角形，

∴OM＝OH＝OR，

作MO⊥HR，则HO＝OR，连接FM，

∵F为BQ中点，

∴FM为△BDQ的中位线，

∴FM∥DQ，

∵DQ⊥BQ，

∴FM⊥BQ，

∴∠BFM＝∠BFR+MFO＝90°，

又∵∠BFR+∠FBR＝90°，

∴∠FBR＝∠MFO，

∵∠MOF＝∠FRB＝90°，

∴△BFR△FMO，

∴＝，

设FH＝x，OM＝OH＝OR＝y，

∵AF＝5，DH＝8，

∴BR＝AH＝AF+FH＝5+x，AR＝DH＝AF+FR＝5+x+2y＝8，

∴FR＝x+2y＝3，

∴＝，

解得：x＝y＝1，

∴AH＝AF+x＝6，

作NP⊥DG于P，则∠PND+∠PDN＝∠PDN+∠ADH＝90°，

∴∠ADH＝∠PND，

∵∠AHD＝∠DPN＝90°，

∴△AHD△DPN，

∴＝＝＝，

设PD＝3k，PN＝4k，

又∵∠DHM＝45°，

∴△HPN是等腰直角三角形，

∴PH＝PN＝4k，HN＝PH＝4k，

∵DH＝PD+PH＝3k+4k＝7k＝8，

∴k＝，

∴HN＝．

故答案为：．